ルカムの第一補題

Le Cam の第一補題とは、以下の補題である。
補題 〈 Le Cam の第一補題 〉
$P_n, \, Q_n$ を可測空間列 $(\Omega_n, \, \mathcal{A}_n)$ 上の確率測度列とする。このとき、以下は同値である。
  1. (1) $Q_n \triangleleft P_n$
  2. (2) ある部分列に沿って $dP_n / dQ_n \overset{Q_n}{\rightsquigarrow} U$ ならば $P(U > 0) = 1$ である。
  3. (3) ある部分列に沿って $dQ_n / dP_n \overset{P_n}{\rightsquigarrow} V$ ならば $EV = 1$ である。
  4. (4) 任意の統計量 $T_n: \Omega_n \mapsto \mathbb{R}^k$ について、$T_n \overset{P_n}{\to} 0$ ならば $T_n \overset{Q_n}{\to} 0$ である。

参考文献

  1. A. W. van der Vaart. Asymptotic Statistics. Cambridge University Press, 2000.
  2. G. Jogesh Babu and Bing Li. A Revisit to Le Cam’s First Lemma. Sankhya A 83, 597–606, 2021.
  3. ルカムの第1補題（その1） - クッキーの日記
  4. ルカムの第1補題（その2） - クッキーの日記
漸近理論